Analiza Matematica | Pregatire Examen

Exercitiul 1 — Serii de Puteri

La examen se da o serie de puteri $\displaystyle\sum_{n \geq 1} a_n \cdot x^n$. Trebuie sa studiezi convergenta intr-un punct si sa determini multimea/raza de convergenta.

📚 Teorie — Criterii de Convergenta

▼

CRITERIUL COMPARATIEI PRIN LIMITA

Compari cu o serie cunoscuta

ESENTIAL ▼

Fie $\sum a_n$ si $\sum b_n$ serii cu termeni pozitivi si exista:

$$\ell = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$$

• $\ell \in (0, +\infty)$ ⇒ aceeasi natura
• $\ell = 0$ si $\sum b_n$ (C) ⇒ $\sum a_n$ (C)
• $\ell = +\infty$ si $\sum b_n$ (D) ⇒ $\sum a_n$ (D)

Serii de referinta:
• $\sum 1/n^\alpha$ — convergenta $\Leftrightarrow$ $\alpha > 1$
• $\sum q^n$ — convergenta $\Leftrightarrow$ $|q| < 1$
• $\sum 1/n$ — DIVERGENTA (seria armonica)

Cand? Cand $a_n$ e o fractie cu puteri de $n$ sus si jos (tip $n^p/(n^q+...)$).

CRITERIUL RAPORTULUI (D'ALEMBERT)

Ideal pentru factoriale si exponentiale

ESENTIAL ▼

$$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

• $L < 1$ ⇒ (C) • $L > 1$ ⇒ (D) • $L = 1$ ⇒ nu decide

Raza de convergenta: $R = 1/L$ unde $L = \lim |a_{n+1}/a_n|$ (coeficientii fara $x^n$).

CRITERIUL RADICAL (CAUCHY)

Pentru puteri de n

IMPORTANT ▼

$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$

• $L < 1$ ⇒ (C) • $L > 1$ ⇒ (D) • $L = 1$ ⇒ nu decide

CRITERIUL LUI LEIBNIZ

Pentru serii alternante $\sum (-1)^n b_n$

ESENTIAL ▼

$\sum (-1)^n b_n$ cu $b_n > 0$ este convergenta daca:

$$\text{1) } b_{n+1} \leq b_n \quad \text{2) } \lim_{n\to\infty} b_n = 0$$

Convergenta (Leibniz) + $\sum |a_n|$ diverge ⇒ semiconvergenta. Daca $\sum |a_n|$ converge ⇒ absolut convergenta.

CRITERIUL RAABE-DUHAMEL

Cand raportul da $L=1$

UTIL ▼

$$R = \lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) \quad \begin{cases} R > 1 \Rightarrow \text{(C)} \\ R < 1 \Rightarrow \text{(D)} \end{cases}$$

⚙ Algoritm de Rezolvare

▼

PARTEA A) — CONVERGENTA SERIEI NUMERICE

Substituie valoarea data

Inlocuieste $x$ cu valoarea ceruta in $\sum a_n \cdot x^n$ ⇒ obtii o serie numerica.

Alege criteriul potrivit

Forma lui $a_n$	Criteriu	Comparatie cu
$n^p/(n^q+...)$	Comparatie	$1/n^{q-p}$
Contine $n!$	Raportul	—
$(.../..)^n$	Radical	—
$(-1)^n b_n$	Leibniz	—

Aplica si concluzioneaza

Scrie calculul, limita si concluzia: (C) sau (D).

PARTEA B) — MULTIMEA DE CONVERGENTA

Gaseste $R$

$$L = \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \text{ sau } \lim\sqrt[n]{|a_n|} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{1}{L}$$

Intervalul deschis

$(-R,R) \subseteq A \subseteq [-R,R]$

Verifica capetele $x = \pm R$

Studiaza convergenta seriilor numerice obtinute.

Concluzia

$A = (-R,R)$, $[-R,R)$, $(-R,R]$ sau $[-R,R]$.

Truc: Rezolva b) inainte de a). Daca $x_0 \notin [-R,R]$ ⇒ direct divergenta!

✎ Exemple Rezolvate

▼

VARIANTA 1

$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \cdot x^n$ — a) $x=1$; b) multimea de convergenta

a) Convergenta pentru $x = 1$

Obtinem $\sum \frac{\sqrt{n}}{n^2+1}$. Comparatie cu $b_n = 1/n^{3/2}$ (convergenta, $\alpha=3/2>1$):

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim\frac{\sqrt{n}\cdot n^{3/2}}{n^2+1} = \lim\frac{n^2}{n^2+1} = 1 \in (0,\infty)$$

Aceeasi natura ⇒ $\sum \frac{\sqrt{n}}{n^2+1}$ este convergenta (C).

b) Multimea de convergenta

$L = \lim|a_{n+1}/a_n| = 1$ ⇒ $R = 1$. Deci $(-1,1) \subseteq A \subseteq [-1,1]$.

$x=1$: (C) de la pct. a). $x=-1$: absolut convergenta (de la pct. a) ⇒ (C).

$$\boxed{A = [-1, \; 1]}$$

VARIANTA 2

$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n!}{2^n \cdot 1\cdot3\cdots(2n-1)} \cdot x^n$ — a) $x=5$; b) raza de convergenta

a) Convergenta pentru $x = 5$

Seria devine $\sum \frac{n!\cdot 5^n}{2^n\cdot 1\cdot3\cdots(2n-1)}$. Criteriul raportului:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5(n+1)}{2(2n+1)} \;\Rightarrow\; L = \lim\frac{5(n+1)}{2(2n+1)} = \frac{5}{4} > 1$$

⇒ divergenta (D).

b) Raza de convergenta

$L = \lim\frac{n+1}{2(2n+1)} = 1/4$ ⇒ $\boxed{R = 4}$.

$x=5 \notin [-4,4]$ ⇒ seria diverge direct (se putea rezolva b inainte de a).

✏ Exercitii de Practica

▼

Rezolva pe hartie inainte de a vedea rezolvarea!

EX. 1USOR

$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n^2}$

a) Convergenta pentru $x = 1$
b) Multimea de convergenta

$\sum 1/n^2$ e seria armonica generalizata cu $\alpha=2>1$.

a) $\sum 1/n^2$: $\alpha=2>1$ ⇒ (C).

b) $R=1$. $x=1$: (C). $x=-1$: AC ⇒ (C). $A=[-1,1]$.

EX. 2USOR

$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n \cdot 2^n}$

a) Convergenta pentru $x = 2$
b) Multimea de convergenta

$x=2$: $\sum 2^n/(n\cdot 2^n) = \sum 1/n$.

a) $\sum 1/n$ — armonica ⇒ (D).

b) $R=2$. $x=2$: (D). $x=-2$: Leibniz ⇒ (C). $A=[-2,2)$.

EX. 3MEDIU

$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n}{3^n} \cdot x^n$

a) Convergenta pentru $x = -3$
b) Multimea de convergenta

$x=-3$: $\sum n(-1)^n$. Tinde termenul general la $0$?

a) $n(-1)^n \not\to 0$ ⇒ (D).

b) $R=3$. $x=\pm 3$: ambele (D). $A=(-3,3)$.

EX. 4MEDIU

$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \cdot x^n$

a) Convergenta pentru $x = 1$
b) Multimea de convergenta

Serie alternanta → Leibniz. Dar $\sum 1/\sqrt{n}$ diverge.

a) Leibniz: $1/\sqrt{n}$ descresc., $\to 0$ ⇒ (C) (semiconvergenta).

b) $R=1$. $x=1$: (C). $x=-1$: $\sum 1/\sqrt{n}$ (D). $A=(-1,1]$.

EX. 5GREU

$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n!}{n^n} \cdot x^n$

a) Convergenta pentru $x = e$
b) Raza de convergenta

$\lim(n/(n+1))^n = 1/e$. Stirling: $n! \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$.

b) $L = \lim \frac{n^n}{(n+1)^n} = 1/e$ ⇒ $R = e$.

a) $x=e$: capt. int. Cu Stirling, $a_n \sim \sqrt{2\pi n}\to\infty$ ⇒ (D).

EX. 6GREU

$\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot x^n$

a) Convergenta pentru $x = 1/4$
b) Raza de convergenta

$\binom{2n}{n} \sim 4^n/\sqrt{\pi n}$ (Stirling). Criteriul raportului.

b) $L = \lim \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = 4$ ⇒ $R = 1/4$.

a) $x=1/4$: $\sum \binom{2n}{n}/4^n \sim \sum 1/\sqrt{\pi n}$ ⇒ (D).

Exercitiul 2 — Calcul Diferential

La examen se da o functie $f:\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$. Se cere: calculul lui $f$ si $df$, verificarea unei egalitati cu derivate partiale, valoare aproximativa sau puncte de extrem.

📚 Teorie — Derivate Partiale & Diferentiala

▼

DERIVATE PARTIALE

Se deriveaza dupa o variabila, celelalte sunt constante

ESENTIAL ▼

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

Se deriveaza $f$ dupa $x$ tratand $y$ ca pe o constanta (si invers pentru $\partial f/\partial y$).

Reguli de derivare uzuale:
• $(x^n)' = nx^{n-1}$ • $(\sqrt{u})' = u'/(2\sqrt{u})$ • $(u^a)' = au^{a-1}\cdot u'$
• $(\ln u)' = u'/u$ • $(e^u)' = e^u \cdot u'$ • $(1/u)' = -u'/u^2$

Derivate de ordin superior: $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ (derivezi de doua ori). Schwarz: $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$.

DIFERENTIALA TOTALA

$df$ combina ambele derivate partiale

ESENTIAL ▼

$$df(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\cdot dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\cdot dy$$

Unde $dx$ si $dy$ sunt diferentialele variabilelor independente (raman ca atare in rezultat).

Atentie: $df$ este o expresie liniara in $dx$ si $dy$. Nu inlocui $dx$ si $dy$ cu numere decat la aproximare!

FUNCTII OMOGENE — TEOREMA LUI EULER

Ecuatii cu $x\cdot\partial f/\partial x + y\cdot\partial f/\partial y$

IMPORTANT ▼

$f$ este omogena de gradul $k$ daca $f(tx, ty) = t^k \cdot f(x,y)$ pentru orice $t > 0$.

Teorema lui Euler:

$$x\cdot\frac{\partial f}{\partial x} + y\cdot\frac{\partial f}{\partial y} = k \cdot f(x,y)$$

La examen nu trebuie sa stii teorema — trebuie doar sa verifici egalitatea prin calcul direct: calculezi $\partial f/\partial x$ si $\partial f/\partial y$, inlocuiesti in membrul stang, si arati ca este egal cu membrul drept.

APROXIMARE CU DIFERENTIALA

Calculul valorii aproximative a unui numar

ESENTIAL ▼

$$f(x,y) \approx f(x_0, y_0) + df(x_0, y_0)(x - x_0, \; y - y_0)$$

Adica:

$$f(x,y) \approx f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$$

Reteta: Alegi $(x_0, y_0)$ valori "frumoase" (intregi) apropiate de $(x, y)$. De exemplu, $0.97 \approx 1$, $1.98 \approx 2$.

PUNCTE DE EXTREM

Minim, maxim local — matricea Hessiana

IMPORTANT ▼

Pasul 1: Gasesti punctele stationare din sistemul:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0$$

Pasul 2: Matricea Hessiana si minorii:

$$H = \begin{pmatrix} f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yy}\end{pmatrix}, \quad \Delta_1 = f''_{xx}, \quad \Delta_2 = f''_{xx}\cdot f''_{yy} - (f''_{xy})^2$$

Pasul 3: Clasificare in punctul stationar:

• $\Delta_2 > 0$ si $\Delta_1 > 0$ ⇒ punct de minim

• $\Delta_2 > 0$ si $\Delta_1 < 0$ ⇒ punct de maxim

• $\Delta_2 < 0$ ⇒ punct sa (nu e extrem)

• $\Delta_2 = 0$ ⇒ nu se poate decide

⚙ Algoritm de Rezolvare

▼

A) CALCULUL LUI $f(x_0,y_0)$ SI $df(x_0,y_0)$

Calculeaza $f(x_0, y_0)$

Inlocuieste direct $x=x_0$, $y=y_0$ in expresia lui $f$.

Calculeaza derivatele partiale

Deriveaza $f$ dupa $x$ (cu $y$ constant) ⇒ $\partial f/\partial x$.
Deriveaza $f$ dupa $y$ (cu $x$ constant) ⇒ $\partial f/\partial y$.

Evalueaza in $(x_0, y_0)$ si scrie $df$

$$df(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot dy$$

B) VERIFICAREA UNEI EGALITATI

Calculeaza membrul stang

Inlocuieste $\partial f/\partial x$ si $\partial f/\partial y$ (calculate la pct. a) in expresia din membrul stang.

Simplifica si compara cu membrul drept

Dupa simplificari algebrice trebuie sa obtii exact membrul drept. Scrie (A) la final.

C) VALOARE APROXIMATIVA

Identifica $(x_0, y_0)$ "frumoase"

Alege $x_0, y_0$ intregi apropiati. Ex: $0.97 \approx 1$, $1.98 \approx 2$.

Calculeaza $f(x_0,y_0)$ si $df(x_0,y_0)$

Foloseste rezultatele de la pct. a) sau recalculeaza.

Aplica formula de aproximare

$$a \approx f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$$

C') PUNCTE DE EXTREM (varianta alternativa la pct. c)

Rezolva sistemul $\partial f/\partial x = 0$, $\partial f/\partial y = 0$

Obtii punctele stationare.

Calculeaza derivatele de ordinul 2

$f''_{xx}$, $f''_{yy}$, $f''_{xy}$ (derivezi inca o data).

Evalueaza $\Delta_1$ si $\Delta_2$ in fiecare punct stationar

$\Delta_1 = f''_{xx}$, $\Delta_2 = f''_{xx}\cdot f''_{yy} - (f''_{xy})^2$. Clasifica dupa semne.

✎ Exemple Rezolvate

▼

VARIANTA 1 — EXAMEN A.M.

$f:\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$, $\;f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^3}$

a) Calculati $f(3,3)$ si $df(3,3)$.
b) Aratati ca: $x\dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{2y}{3}\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y} = f$.
c) Determinati valoarea aproximativa a lui $a = \sqrt{0{,}97^2 + 1{,}98^3}$.

a) $f(3,3)$ si $df(3,3)$

$$f(3,3) = \sqrt{3^2 + 3^3} = \sqrt{9+27} = \sqrt{36} = 6$$

Derivatele partiale:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^3}}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3y^2}{2\sqrt{x^2+y^3}}$$

Evaluam in $(3,3)$:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(3,3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(3,3) = \frac{3\cdot 9}{2\cdot 6} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$$

$$\boxed{df(3,3) = \frac{1}{2}\,dx + \frac{9}{4}\,dy}$$

b) Verificarea egalitatii

Calculam membrul stang:

$$x\cdot\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{2y}{3}\cdot\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^3}} + \frac{2y}{3}\cdot\frac{3y^2}{2\sqrt{x^2+y^3}}$$

$$= \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^3}} + \frac{y^3}{\sqrt{x^2+y^3}} = \frac{x^2+y^3}{\sqrt{x^2+y^3}} = \sqrt{x^2+y^3} = f \quad \text{(A)}$$

c) Valoarea aproximativa

$a = \sqrt{0{,}97^2 + 1{,}98^3} = f(0{,}97;\; 1{,}98)$.

Alegem $(x_0, y_0) = (1, 2)$ (valori "frumoase").

$$f(1,2) = \sqrt{1^2+2^3} = \sqrt{9} = 3$$

$$df(1,2) = \frac{1}{\sqrt{1+8}}\,dx + \frac{3\cdot 4}{2\sqrt{9}}\,dy = \frac{1}{3}\,dx + 2\,dy$$

Cu $dx = 0{,}97 - 1 = -0{,}03$ si $dy = 1{,}98 - 2 = -0{,}02$:

$$df(1,2)(-0{,}03;\;-0{,}02) = \frac{1}{3}\cdot(-0{,}03) + 2\cdot(-0{,}02) = -0{,}01 - 0{,}04 = -0{,}05$$

$$\boxed{a \approx 3 + (-0{,}05) = 2{,}95}$$

VARIANTA 2 — EXAMEN A.M.

$f:\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$, $\;f(x,y) = xy + \dfrac{2}{x} - \dfrac{4}{y}$

a) Calculati $f(1,1)$ si $df(1,1)$.
b) Aratati ca: $f + x\dfrac{\partial f}{\partial x} + y\dfrac{\partial f}{\partial y} = 3xy$.
c) Determinati punctele de extrem ale functiei $f$.

a) $f(1,1)$ si $df(1,1)$

$$f(1,1) = 1\cdot 1 + \frac{2}{1} - \frac{4}{1} = 1+2-4 = -1$$

Derivatele partiale:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = y - \frac{2}{x^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{4}{y^2}$$

Evaluam in $(1,1)$:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) = 1-2 = -1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) = 1+4 = 5$$

$$\boxed{df(1,1) = -dx + 5\,dy}$$

b) Verificarea egalitatii

$$f + x\cdot\frac{\partial f}{\partial x} + y\cdot\frac{\partial f}{\partial y} = \left(xy+\frac{2}{x}-\frac{4}{y}\right) + x\left(y-\frac{2}{x^2}\right) + y\left(x+\frac{4}{y^2}\right)$$

$$= xy + \frac{2}{x} - \frac{4}{y} + xy - \frac{2}{x} + xy + \frac{4}{y} = 3xy \quad \text{(A)}$$

c) Punctele de extrem

Pasul 1: Puncte stationare — rezolvam sistemul:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{2}{x^2} \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{4}{y^2}$$

Din prima: $x^2 y = 2$. Din a doua: $xy^2 = -4$. Inmultim: $x^3y^3 = -8$ ⇒ $(xy)^3 = (-2)^3$ ⇒ $xy = -2$.

Din $x^2 y = 2$ si $xy = -2$: $x\cdot(xy) = x\cdot(-2) = 2/x$ ⇒ nu, mai simplu:

$xy = -2$ si $x^2 y = 2$ ⇒ $x(xy)=2$ ⇒ $x\cdot(-2)=2$ ⇒ $x = -1$ ⇒ $y = 2$.

$$\text{Punct stationar: } A(-1, 2)$$

Pasul 2: Derivate de ordinul 2:

$$f''_{xx} = \frac{4}{x^3}, \quad f''_{yy} = -\frac{8}{y^3}, \quad f''_{xy} = 1$$

Pasul 3: Evaluam in $A(-1, 2)$:

$$f''_{xx}(-1,2) = \frac{4}{-1} = -4, \quad f''_{yy}(-1,2) = \frac{-8}{8} = -1, \quad f''_{xy}(-1,2) = 1$$

$$\Delta_1 = -4 < 0, \qquad \Delta_2 = (-4)(-1) - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0$$

$$\Delta_2 > 0 \text{ si } \Delta_1 < 0 \;\Rightarrow\; \boxed{A(-1, 2) \text{ este punct de MAXIM local}}$$

✏ Exercitii de Practica

▼

Rezolva pe hartie inainte de a vedea rezolvarea!

EX. 1USOR

$f(x,y) = x^2 y + x y^2$

a) Calculati $f(1,2)$ si $df(1,2)$.
b) Aratati ca $x\dfrac{\partial f}{\partial x} + y\dfrac{\partial f}{\partial y} = 3f$.

$\partial f/\partial x = 2xy + y^2$, $\partial f/\partial y = x^2 + 2xy$. Functia e omogena de grad 3 (Euler).

a) $f(1,2) = 1\cdot 4 + 1\cdot 4 = 6$ (nu! $= 1\cdot 2 + 1\cdot 4 = 6$). $f_x(1,2) = 2\cdot 2 + 4 = 8$, $f_y(1,2) = 1 + 4 = 5$.

$df(1,2) = 8\,dx + 5\,dy$.

b) $x(2xy+y^2) + y(x^2+2xy) = 2x^2y + xy^2 + x^2y + 2xy^2 = 3x^2y + 3xy^2 = 3(x^2y+xy^2) = 3f$. (A)

EX. 2USOR

$f(x,y) = x^3 + 3x^2y - y^3$

a) Calculati $f(1,-1)$ si $df(1,-1)$.
b) Valoarea aproximativa a lui $f(1{,}02;\; -0{,}97)$.

$(x_0,y_0)=(1,-1)$. $dx=0{,}02$, $dy=0{,}03$.

a) $f(1,-1) = 1-3+1 = -1$. $f_x = 3x^2+6xy$, $f_y = 3x^2-3y^2$.

$f_x(1,-1)=3-6=-3$, $f_y(1,-1)=3-3=0$. $df(1,-1) = -3\,dx$.

b) $f(1{,}02;\;-0{,}97) \approx -1 + (-3)(0{,}02) + 0\cdot(0{,}03) = -1-0{,}06 = \boxed{-1{,}06}$.

EX. 3MEDIU

$f(x,y) = e^{x^2+y^2}$

a) Calculati $df(1,0)$.
b) Aratati ca $x\dfrac{\partial f}{\partial y} - y\dfrac{\partial f}{\partial x} = 0$.

$\partial f/\partial x = 2x\cdot e^{x^2+y^2}$. La pct. b) inlocuiesti si simplifici.

a) $f_x = 2xe^{x^2+y^2}$, $f_y = 2ye^{x^2+y^2}$. In $(1,0)$: $f_x = 2e$, $f_y = 0$.

$df(1,0) = 2e\,dx$.

b) $x\cdot 2ye^{x^2+y^2} - y\cdot 2xe^{x^2+y^2} = 2xye^{x^2+y^2} - 2xye^{x^2+y^2} = 0$. (A)

EX. 4MEDIU

$f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$

a) Calculati $df(3,4)$.
b) Aproximati $\sqrt{3{,}02^2 + 3{,}97^2}$.

$(x_0,y_0) = (3,4)$, $f(3,4) = 5$. $dx=0{,}02$, $dy=-0{,}03$.

a) $f_x = x/\sqrt{x^2+y^2}$, $f_y = y/\sqrt{x^2+y^2}$. In $(3,4)$: $f_x = 3/5$, $f_y = 4/5$.

$df(3,4) = \frac{3}{5}dx + \frac{4}{5}dy$.

b) $\approx 5 + \frac{3}{5}(0{,}02) + \frac{4}{5}(-0{,}03) = 5 + 0{,}012 - 0{,}024 = \boxed{4{,}988}$.

EX. 5GREU

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$

a) Calculati $df(1,1)$.
b) Determinati punctele de extrem.

$f_x = 3x^2-3y = 0$, $f_y = 3y^2-3x = 0$ ⇒ $y=x^2$, $x=y^2$.

a) $f_x(1,1)=0$, $f_y(1,1)=0$. $df(1,1) = 0$ (punct stationar!).

b) $y=x^2$ si $x=y^2$ ⇒ $x = x^4$ ⇒ $x(x^3-1)=0$ ⇒ $x=0$ sau $x=1$.

Puncte stationare: $O(0,0)$ si $A(1,1)$.

$f''_{xx}=6x$, $f''_{yy}=6y$, $f''_{xy}=-3$.

In $O(0,0)$: $\Delta_2 = 0\cdot 0 - 9 = -9 < 0$ ⇒ punct sa.

In $A(1,1)$: $\Delta_1 = 6 > 0$, $\Delta_2 = 36-9 = 27 > 0$ ⇒ punct de minim. $f_{min} = -1$.

EX. 6GREU

$f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y + 1$

a) Calculati $df(0,0)$.
b) Determinati punctele de extrem si natura lor.

$f_x = 2x+y-3$, $f_y = x+2y-6$. Rezolva sistemul liniar.

a) $f_x(0,0)=-3$, $f_y(0,0)=-6$. $df(0,0)=-3dx-6dy$.

b) $2x+y=3$, $x+2y=6$ ⇒ $x=0$, $y=3$. Punct stationar: $(0,3)$.

$f''_{xx}=2$, $f''_{yy}=2$, $f''_{xy}=1$.

$\Delta_1=2>0$, $\Delta_2=4-1=3>0$ ⇒ punct de minim. $f_{min} = f(0,3) = 9-18+1 = -8$.

Resurse Online

Exercitiul 1 — Serii de Puteri

📚 Teorie — Criterii de Convergenta

⚙ Algoritm de Rezolvare

PARTEA A) — CONVERGENTA SERIEI NUMERICE

PARTEA B) — MULTIMEA DE CONVERGENTA

✎ Exemple Rezolvate

✏ Exercitii de Practica

Exercitiul 2 — Calcul Diferential

📚 Teorie — Derivate Partiale & Diferentiala

⚙ Algoritm de Rezolvare

A) CALCULUL LUI $f(x_0,y_0)$ SI $df(x_0,y_0)$

B) VERIFICAREA UNEI EGALITATI

C) VALOARE APROXIMATIVA

C') PUNCTE DE EXTREM (varianta alternativa la pct. c)

✎ Exemple Rezolvate

✏ Exercitii de Practica

Resurse Online

CURSURI UNIVERSITARE (RO)

VIDEO TUTORIALE

REFERINTE & MANUALE

CALCULATOARE INTERACTIVE